Középiskolai tanulmányait a nagyenyedi Bethlen Gábor református kollégiumban folytatta 1890–1898 között. Ezután 1898–1902 között a kolozsvári egyetemen tanult, ahol az Archaeológiai Tanszék vezetőjének, Pósta Bélának segédgyakornoka, majd egyetemi oklevelének (1903) és doktorátusának (1907) megszerzése után az Erdélyi Múzeum-Egyesület Érem- és Régiségtárának archeológusa lett. Római tartományok régiségtana tárgykörből a kolozsvári egyetem magántanárává (1911) nevezték ki, s ezt követően évente meghirdethette előadásait. Főművét, a Római felirattant (1914) egykori mesterének, Pósta Bélának ajánlotta. Az 1917. évben címzetes nyilvános rendkívüli tanárrá léptették elő, de Erdély 1918-as megszállása ellehetetlenítette munkáját. Kényszerű helyzetében elfogadta a Szegedre költözött Ferenc József Tudományegyetemre szóló kinevezését, s 1924–1937 között az Archeológiai Intézet vezetője, 1931/32-ben a bölcsészkar dékánja lett.

Szegeden kolozsvári mintára elindította a Dolgozatok a M. Kir. Ferencz József Tudományegyetem Archaeologiai Intézetéből című periodikát (1925–1943 között 19 kötet), és Banner Jánossal már 1925-ben megszervezte az első ásatásokat. Mivel hiányzott a kutatásokhoz szükséges anyagi támogatás, az 1927-ben megjelent írásával, A régészeti kutatások megszervezése címmel Buday Árpád vállalta az úttörő szerepet. Megállapította, hogy múzeumainkban az anyag mennyisége elegendő, de kevés a tudományos értéke, annak is csak magyar nyelven történő közreadása nem hat a nemzetközi tudományosság fórumán. A berlini Das Archäologische Institut des Deutschen Reiches alapításának százéves évfordulóján (1929) Buday Árpád, a régészet tanára képviselte a Ferenc József Tudományegyetemet.

Gondosan kidolgozott előadásai, azok kéziratai és illusztrációs anyagai értékes tudást adtak hallgatói számára. Kurzusait az ókori görög, római és keleti történelem, éremtan, római felirattan, művészettörténet, római limes-kutatások és provinciális római régészet tárgykörében hirdette meg, de az Alföld régészeti emlékeinek feltárásában is részt vett. Szegedi évei alatt a Diákvédő- és Diákjóléti Iroda elnöke (1931–1936) volt, hallgatóival közvetlen kapcsolatban állt és ásatásokat szervezett nekik. A középiskolai tanárképzés munkájából a Középiskolai Tanárképző Intézet igazgató-tanácsosaként vette ki részét.

Szegeden az Egyetem Barátainak Egyesületének főtitkára, majd a bölcsészet-, nyelv-, történelem- és irodalomtörténeti szakosztály elnöke lett s szabadegyetemi és szakosztályi előadásaival egyik legmunkásabb tagja. A régészeti társulat munkájából is és szívesen megjelent a társaság felolvasó asztalánál. Az 1924-től kibontakozó szegedi régészeti iskola Buday Árpád munkája révén vált Posta Béla kolozsvári iskolájának helyi hagyományokat is magába olvasztó egyenes folytatója. Buday 1937. április 9-i halála után Szegeden évtizedekre megszűntek a római régészeti kutatások.