Kéménd községben (Érsekújvári járás) született, német származású értelmiségi családban. Az eredeti Czernil családnevet 1890-ben magyarosították Várkonyira. Az alapfokú tanulmányokat Esztergomban kezdte, de a második osztálytól már Pécsett folytatta. A gimnázium első négy osztályát a pécsi Római Katolikus Főgimnáziumban végezte, az érettségit Esztergomban, a Szent Benedek Rendi Főgimnáziumban szerezte meg.

A Pannonhalmi Főapátsági Főiskolára iratkozott be, melynek végeztével 1911-ben áldozópappá szentelték. Latin–történelem–filozófiai szakos bencés tanárként Győrött kezdte pedagógiai munkásságát, majd miután a budapesti tudományegyetemen doktori oklevelet szerzett, főiskolai tanárként működött Pannonhalmán (1912–1923), ahol filozófiát és pedagógiát adott elő. A húszas években (1923–1929) a pécsi egyetemen „logika és logika története” tárgykörből magántanár, majd rendkívüli tanár (1927) lett. Ez utóbbi kinevezése alkalmával habilitációjánák jogkörét a pedagógia mellett kiterjesztették a lélektan területére is. Ebben az időszakban fordult ugyanis érdeklődése a pszichológia felé, és több ily jellegű műve jelent meg. Pécsi egyetemi tanársága idején, az Egyetemi Könyvtár megbízott igazgatói tisztségét is betöltötte (1924–1929). Utolsó pécsi tanévében Párizsban, a Sorbonne-on folytatott ösztöndíjasként tanulmányokat (1928–1929), s megismerkedett a korabeli lélektan eredményeivel.

Glattfelder Gyula csanádi püspök egyházpolitikai befolyására került a Ferenc József Tudományegyetem újszervezésű Pedagógiai-Lélektani Tanszékére 1930-ban nyilvános rendes tanárként, a bölcsészettudományi karon működő református Bartók György, Halasi Nagy József és Imre Sándor ellensúlyozására. Kinevezésétől fogva beszélhetünk a maga nemében egyéni arculatú pszichológiai iskoláról a szegedi egyetemen. Az új Pedagógiai-Lélektani Intézet később, Imre Sándor Budapestre távozása után, 1934-ben vezetése alatt egyesült a korábbi Pedagógiai Intézettel. Kiváló előadó személyiségével a legmodernebbnek számító pszichológiai irányzatokat népszerűsítette, olyanokat, mint Piaget, Janet, Freud, Jung és Adler tanai. Hallgatóiból komoly tudományos műhelyt hívott életre, doktori értekezések egész sorának volt témavezetője.

Rokonszenvezett a korabeli gyermekközpontú pedagógiai irányzatokkal, iskolákkal, azonosult az „Új Nevelés” mozgalmának célkitűzéseivel. Figyelemmel kísérte a szegedi polgári iskolai tanárképző főiskola gyakorló iskolájának működését, amelyet a korabeli pedagógiai szaksajtó a „Cselekvő Iskola” névre keresztelt. Eredményeiket a Cselekvés Iskolája című folyóiratban tették közzé, itt Várkonyi is rendszeresen publikált. Eszmei irányításával és Dolch Erzsébet vezetése alatt működött 1936–1940 között az egyetem elemi gyakorló iskolája, az újszegedi Kerti Iskola, ahol lehetőség nyílt az új elvek és módszerek kipróbálására. További társadalmi tevékenysége Szegeden Tettamanti Bélával közösen alapított Nevelésügyi Szemle szerkesztői munkássága (1937), valamint a Magyar Pszichológiai Szemle hat éven át való szerkesztése (1933–1939). Szeged rendkívül fontos állomás volt életében, közel 100 tudományos művet írt a szegedi tíz év alatt. Tekintélyének nagyságát mutatja, hogy két egymást követő tanévben is a bölcsészkar dékánjává választották (1936/1937 és 1937/1938).

1940-ben, a távozó egyetemmel Kolozsvárra költözött: nyilvános rendes tanárként működött, azon kívül a Lélektani Intézet igazgatója volt. A második világháború után a budapesti József nádor Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetemen a Pedagógiai Tanszék vezetését látta el (1945–1948), majd az Eötvös Loránd Tudományegyetem Pszichológiai Tanszékére került, amelyen nyugdíjba kerüléséig (1954) tevékenykedett. Ebben az időszakában már kilépett a bencés rendből (1947) és feleségül vette Kisfaludy Erős Piroskát. Tudományos munkássága elismeréséül 1952-ben megkapta a „pedagógiai tudományok kandidátusa” fokozatot. 1971. május 20-án hunyt el Budapesten, sírja Sárospatakon található. Életének utolsó két évtizedéből származó írásos hagyatéka szintén itt, a Tiszáninneni Református Egyházkerület Tudományos Gyűjteményének Kézirattárában került elhelyezésre. Tiszteletére emléktáblát avattak és előadótermet neveztek el róla 2008-ban a Szegedi Pszichológiai Intézetben.